宁波大学2026年普通招考博士研究生专业基础考核笔试科目考试大纲

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宁波大学2026年普通招考博士研究生专业基础考核笔试科目考试大纲

科目名称:数学综合知识

一、考试形式与试卷结构

（一）试卷满分值及考试时间

本试卷满分为100分，考试时间为120分钟。

（二）答题方式

答题方式为闭卷、笔试。试卷由试题和答题纸组成；答案必须写在答题纸相应的位置上。

（三）试卷内容结构

考试内容主要包括泛函分析和抽象代数部分。泛函分析部分包括线性泛函分析中的空间理论、线性算子、无穷维空间上的函数、谱理论、紧线性算子为主要内容，要求考生系统地掌握泛函分析的基本概念、理论和方法，并能应用这些理论和方法，具有较强的分析问题与解决问题的能力。抽象代数部分包括基本代数结构如群、环、模和域的基本概念、基本理论，代数结构的一些基本思想和方法，要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

（四）试卷题型结构

1. 简答题

2. 证明题

3. 计算题

二、考查目标

主要考察学生对泛函分析和抽象代数部分的基本概念、基本原理和基本方法的掌握程度和利用其理论解决分析和代数等领域的问题，要求具有理论证明和计算能力。

三、考查范围或考试内容概要

第一部分：泛函分析

1．距离空间，内容包括：距离空间的概念，点列的收敛性，映射的连续性，内点，开集，领域等概念，距离的等价性，映射的连续性等；距离空间的闭集，集合的闭包，集合的稠密性和距离空间的可分性，列紧集和距离空间的列紧性；距离空间的完备性，包括Cauchy列，完备距离空间的定义，完备空间与不完备空间举例，距离空间的完备化；完备距离空间的性质，内容包括闭集套定理，Banach压缩映照原理及其应用。

2．赋范空间，内容包括：赋范空间的概念， Banach空间定义，范数连续性，范数与距离的关系，点列的收敛性；完备赋范空间，赋范空间的完备化，重要的完备空间空间和 空间；赋范空间的的几何结构；有限维赋范空间。

3．内积空间和Hilbert空间，内容包括：内积空间的基本性质，内积和范数的关系、内积空间特征、Hilbert空间的定义，一些典型的内积空间、Hilbert空间例子；正交和正交分解，Hilbert空间正交分解定理；正交系和正交投影，Fourier级数，Bessel不等式与Fourier级数的收敛性；正交基和正交列的完备性；可分Hilbert空间的等距同构。

4．有界线性算子和线性泛函，内容包括：有界线性算子和有界线性泛函，线性算子有界性和连续性的关系，线性算子赋范空间定义；有界线性算子空间的收敛和完备性；一致有界原理，包括Baire纲定理，及其各种表现形式，Banach-Steinhaus一致有界原理及其逆否命题，有界线性算子空间强收敛意义下的完备性；开映射定理与逆算子定理；闭算子和闭图像定理。

5．共轭空间和共轭算子，内容包括：Hahn-Banach延拓定理（复形式和实形式）及其几个重要推论，它们在凸集分离中的应用；共轭空间以及几个重要空间的共轭空间；Hilbert空间的共轭空间；Hilbert空间中的自共轭的有界线性算子；Banach空间的共轭算子；线性算子的谱理论。

第二部分：抽象代数

1. 群论，内容包括：子群与Lagrange定理，利用等价关系导出陪集分解和Lagrange定理；Lagrange定理的应用：元素的阶及计算；两子群积集的计数公式；类方程及其应用：p-群有非平凡的中心；循环群，正规子群、商群、群同态基本定理，置换群，群在集合上的作用及其应用，Sylow定理，有限生成Abel群，可解群与Jordan-Holder定理，有限生成Abel群的结构。

2. 环论，内容包括：环的基本概念，环同态基本定理，极大理想与素理想，唯一因子分解整环（UFD），UFD的等价刻画，Euclid整环（ED），多项式环，交换环的大根与小根，有关交换环的局部化理论，链条件。

3. 模论，内容包括：模的定义，直积、直和与自由模，内射模与投射模，阿廷模与诺特模，局部环与模的直和分解，根基与基座，张量积与平坦模。

4. 域论，内容包括：域的扩张，分裂域，有限域，可分扩域，正规扩域。

5. Galois理论，内容包括：Galois理论的基本定理，方程的Galois群，代数方程的根式可解性。

四、参考教材或主要参考书

[1] 泛函分析讲义（上册），张恭庆，林源渠著，北京大学出版社，北京，2015.

[2] 聂灵沼，丁石孙，代数学引论（第二版），高等教育出版社，2000

[3] T.W. Hungebford, Algebra(有中译本,书名《代数学》)，GTM 73, Springer-Verlag.

[4] 实变函数与泛函分析概要（第二册），郑维行、王声望编著，高等教育出版社，2010.

[5] 实变函数与泛函分析（下册），夏道行编著，高等教育出版社，2010.

[6] 实变函数与泛函分析基础，程其襄，张奠宙编著，高等教育出版社，2004.

[7] Functional Analysis，Walter Rudin，Mc Graw Hill Education，1999.

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